Лекции (1-18) по мат. анализу 1 семестр

Лекции (1-18) по мат. анализу 1 семестр

Файл : matan1.doc (размер : 2,294,272 байт)

Лекция №1

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 5 сентября 2000 г.

Тема: Введение

Условные обозначения:

: - так, чтоdef – по определению

( – включает ’’’ – [dnf(x)]/dxn=(d/dx)([dn-1f(x)]/dxn)

( - следует, выполняется

( - тогда и только тогда

( - любой

( - существует

] – пусть

! – единственный

[x] – целая часть

~ - эквивалентно

о - малое

Все R представляют десятичной дробью.

Все Q представляют конечной дробью, либо периодичной дробью.

Все иррациональные числа представляют бесконечной десятичной дробью ( не периодичной).

Рассмотрим числовую ось. Числовая ось – направленная прямая с отмеченной точкой и отмеченным масштабом.

0 – отвечает за ноль.

Отрезок [0;1] отвечает за единицу

Единица за единицу.

Каждой точки х на числовой прямой отвечает некоторое действительное число. Если длинны отрезков [0;x] из заданного масштаба соизмеримы, тогда числу х отвечает рациональное число. Если не соизмеримы, то иррациональны.

Каждому R отвечает точка на числовой прямой и наоборот, каждой точке отвечает R.

Основные числовые множества.

x

Отрезок: [/////////] x

a b

Обозначается [a;b] a(b

Частный случай отрезка точка

Или a(x(b – в виде неравенства.

х

Интервал: (/////////) x – множество точек на числовой прямой.

a b

Обозначается (a;b) или в виде неравенства a<x<b

x

Полуинтервал: (/////////] x

a b

x

[/////////) x

a b

Обозначается: [a;b) a(x(b

(a;b] a<x(b

Всё это числовые промежутки.

Замечание: один из концов ( а или b) может быть символом ((.

x

///////////////] x (-(;b] или -(<x(b

b

x

///////////////) x (-(;b) или -(<x<b

b

Вся числовая прямая – R=(-(;+()

Окрестности.

Определение: ε –окрестностью числа а называется множество чисел х удовлетворяющие неравенству

a-ε<x<a+ε ( (x-a( ( (////(////) x ( Оε(а)

ε>0 а-ε а а+ε

Оε(а)={x(R:(x-a(<ε}

Проколотая ε окрестность – О(ε(а) это множество таких чисел включающих R, и отстаёт от точки на ε и не принадлежит а.

О(ε(а)={x(R:0<(x-a(<ε}

(////(////) x

а-ε а а+ε

Правая ε поло окрестность точки а: О+ε(а)={x(R:a(x<a+ε}

( ///////) x

a a+ε

Проколотая правая ε поло окрестность точки а: О(ε(а)={x(R:a<x<a+ε} Рисунок подобен предыдущему только с выколотой точкой а.

Левая ε поло окрестность точки а: O-ε(a)={x(R:a-ε<x(a}

(////////( x

a-ε a

Проколотая, левая ε поло окрестность точки а: О(-ε(а)={x(R:a-ε<x<a} Рисунок подобен предыдущему только с выколотой точкой а.

Модуль и основные неравенства.

x; x>0

(х(= 0; x=0

-x; x<0

|x|<h ( -h<x<h |x|>h( x>h

h>0 x<-h

( а,b ( R: |a(b((|a|+|b|