Поверхности второго порядка

Файл : referat.doc (размер : 1,305,088 байт)

CREATED by KID

Содержание.

Понятие поверхности второго порядка.1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

Классификация поверхностей второго порядка.1. Классификация центральных поверхностей.

( 1°. Эллипсоид.

( 2°. Однополостный гиперболоид.

( 3°. Двуполостный гиперболоид.( 4°. Конус второго порядка.

2. Классификация нецентральных поверхностей.

( 1°. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, эллиптический параболоид, гиперболиче​ский параболоид.

( 2°. Параболический цилиндр

• Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям.

Эллипсоид.2. Гиперболоиды.

( 1°. Однополостный гиперболоид.

( 2°. Двуполостный гиперболоид.

3. Параболоиды.

( 1°. Эллиптический параболоид.( 2°. Гиперболический пара​болоид.

4. Конус и цилиндры второго порядка.

( 1°. Конус второго порядка.( 2°. Эллиптический цилиндр.( 3°. Гиперболический цилиндр.( 4°. Параболический цилиндр.

Список использованной литературы.

1. «Аналитическая геометрия» В.А. Ильин, Э.Г. Позняк

§ 1. Понятие поверхности второго порядка.

Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a11х2 + а22у2 + a33z2+ 2a12xy + 2a23уz + 2a13xz + 2а14 x + 2а24у+2а34z +а44 = 0 (1)

в котором по крайней мере один из коэффициентов a11 , а22 , a33 , a12 , a23 , a13 отличен от нуля.

Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением по​верхности второго порядка.

Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной де​картовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравне​ние (1) и уравнение, полученное после преобразования коор​динат, алгебраически эквивалентны.

1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

Справедливо следующее утверждение.

являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системы ко​ординат.

Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса.

§ 2. Классификация поверхностей второго порядка

1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стан​дартное упрощение уравнения этой поверхности. В резуль​тате указанных операций уравнение поверхности примет вид

a11х2 + а22у2 + a33z2 + а44 = 0 (2)

Так как инвариант I3 для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a11 • а22 •a33 , то коэффициенты a11 ,а22 ,a33 удовлетворяют условию :

Возможны следующие случаи :

( 1°. Коэффициентыa11 ,а22 ,a33 одного знака, а коэффициент а44 отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.

Если коэффициенты a11 ,а22 ,a33 , а44 одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют коорди​наты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом.

Если знак коэффициентов a11 ,а22 ,a33 противоположен знаку коэффициента а44 , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. После не​сложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:

Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллип​соида.

Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz. называются его главными осями.

( 2°.Из четырех коэффициентов a11 ,а22 ,a33 , а44 два одного зна​ка, а два других—противоположного. В этом случае поверх​ность S называется однополостным гиперболоидом.

Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 > 0, а22