Кривые третьего и четвертого порядка

Файл : decart list.doc (размер : 297,984 байт)

PAGE PAGE 1

Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова

Кафедра высшей математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему:

«Кривые третьего и четвертого порядка»

Выполнили: студенты

группы С-12-00

Пинаев И.Н.

Искаков Р.Р.

Проверила:

доцент кафедры высшей математики

к.ф.-м.наук Самарина С.М.

Чебоксары, 2002

Декартов лист

1. Особенности формы.Декартовым листом называется кривая 3-го порядка, уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид

(1)

Иногда удобно пользоваться параметрическими уравнениями декартова листа, которые можно получить, полагая y=tx, присоединяя к этому равенству равенство (1) и решая полученную систему относи​тельно х и у, в результате будем иметь:

(2)

откуда следует, что декартов лист является рациональной кривой.

Заметим еще, чтополярное уравнение декартова листа имеет вид

(3)

Координаты х и у входят в уравнение декартова листа симмет​рично, откуда следует, что кривая симметрична относительно биссектрисы у=х. Обычное исследование на особые точки при​водит к заключению, что начало координат является узловой точкой декартова листа. Уравнения касательных к алгебраической кривой в ее особой точке, совпадающей с началом координат, можно получить, как известно, приравнивая нулю группу членов низшей степени из уравнения этой кривой. В нашем случае имеем З аху = 0, откуда получим х = 0 и у = 0 – искомые уравнения касательных в узловой точке. Эти касательные совпадают с координатными осями и, следовательно, в начале координат кривая пересекает сама себя под прямым углом. Легко видеть, что в первом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с прямой у = х в точке

Точки этой петли, в которых касательные парал​лельны координатным осям, имеют координаты

и (cм. рис. 1)

Для окончательного заключения о форме кривой следует еще найти асимптоту Заменяя в уравнении кривой у на приравняем нулю в полученном уравнении коэффициенты двух членов с высшими степенями х. Получим

и b = - а. Таким образом, де​картов лист имеет асимптоту

у = — х — а; следовательно, во 2-м и 4-м координатных углах ветви декартова листа уходят в бесконечность.

Рис. 1

2. Свойства. Согласно теоре​ме Маклорена, если в трех точках алгебраи​ческой кривой 3-го порядка, ле​жащих на одной прямой, про​вести касательные к этой кривой, то точки их пересечения с кривой будут лежать также на прямой линии. Применительно к декартову листу эта теорема доказывается просто. Выведем с этой целью предварительно условие пребывания трех точек декартова листа, соответствующих значениям t1 , t2 и t3 параметра, на одной прямой. Если уравнение прямой имеет вид y=kx+b, то значения параметра, соответствующие точкам пере​сечения этой прямой с кривой, должны удовлетворять системе

Система эта приводит к уравнению

корни которого и будут искомыми значениями t1 , t2 и t3 параметра, откуда следует, что

(4)

Это равенство и является условием пребывания трех точек M1(t1 ), M2(t2), М3 (t3) декартова листа на одной прямой.

Располагая этим условием, покажем справедливость теоремы Маклорена для декартово листа. Действительно, касательную в точке M1 (t1) можно рассматривать как прямую, которая пересекает декар​тов лист в двух совпадающих между собой точках, для которых t2=t1, и в третьей точке, для которой соответствующее значение параметра обозначим через T1. Условие (4) примет вид t12 T1= -1. Для касательных в точках М2 и M3 получим аналогичные соотношения t22 T2 = -1 и t32 T3 = -1. Перемножая эти три равен​ства, будем иметь

(t1t2t3)2T1T2T3 = -1. откуда на основании (4) заключаем, что и T1T2T3 = -1, т. е. точки N1(T1), N2(T2) и N3(T3) лежат на одной прямой.

Определяя площадь, ограниченную петлей декартова листа, получим:

3. Способ построения. Заметим предварительно, что если ось симметрии декартова листа принять за ось абсцисс, то уравнение его примет вид

(5)

Пусть теперь имеется окружность с радиусом r и центром в точке