Комплексные числа

Файл : complex.doc (размер : 470,016 байт)

Брянский городской лицей № 1

Учебно-исследовательская работа

по математике на тему:

“Комплексные числа”

Выполнил

ученик 10 физико-

математического класса

Петрухин Вячеслав

Учитель: Тюкачева О.И.

Брянск, 2003

Оглавление:

1.Комплексные числа 3

2.Свойства операций над комплексными числами 3

3. Комплексная плоскость 3

4. Модуль комплексного числа 4

5. Геометрический смысл сложения, вычитания и модуля разности двух комплексных чисел 5

6. Аргументы комплексного числа 5

7.Алгебраическая и тригонометрическая формы. комплексного числа 6

8. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме 8

9. Возведение в степень и извлечение корня 8

10.Квадратные уравнения 10

11.Использованная литература 14

В элементарной математике изучаются действительные числа. С начала в процессе счёта возникает так называемый натуральный ряд чисел 1, 2,… n,… В арифметике вводятся действия сложения и умножения над натуральными числами. Что де касается операций вычитания и деления, то они уже оказываются не всегда возможными во множестве натуральных чисел.

Та же потребность измерения величин и проведения таких операций, как извлечения корня, решение алгебраических уравнений, приводит к дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел: появляются иррациональные и, наконец, комплексные числа.

1.Комплексные числа

Комплексными числами называются выражения вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – некоторый символ, для которых вводятся понятия равенства и операции сложения и умножения:

а) два комплексных числа a + ib и c + id равны тогда и только тогда, когда

a=c и b=d;

б) суммой чисел a + ib и c + id называется число

a + c + i(b +d);

в) произведением чисел a + ib и c + id называется число

ac – bd +i(ad+bc).

Комплексные числа принято обозначать одной буквой (чаще всего буквой z или w). Равенство z= a + ib означает, что комплексное число a + ib обозначено буквой z.

Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z = a + ib и обозначается Re z; пишут Re z =a или Re z=a или Re(a + ib) = a. Число b называется мнимой частью числа z= a +ib и обозначается Im z, пишут Im z = b или Im(a +ib) = b. Символ I называется мнимой единицей.

Заметим, что операции сложения и умножения над числами a+ i0 проводятся так же, как над действительными числами.

Таким образом, отождествив число a + i0 с действительным числом a, получим, что каждое действительное число содержится во множестве комплексных чисел, а именно a =a+i0.

Числа вида 0 +ib называю чисто мнимыми и обозначаются ib.

На основании формулы (2) найдём значение выражения i2=ii:

i2 = ii =(0+i1)(0+i1)= -1+i0=-1.

Таким образом,

i2=-1.

2.Свойства операций над комплексными числами.

Коммутативность сложения: z1 + z2 = z2 + z1.

Ассоциативность сложения (z1 + z2)+z3 = z1 +(z2 + z3)

z+0=z.

Коммутативность умножения: z1 z2= z2 z1.

Ассоциативность умножения: z3( z1 z2) =z1( z2 z3).

Дистрибутивный закон: z1( z2 + z3) =z1 z2 + z1 z3.

1*z=z.

Для любых двух комплексных чисел z1 и z2, где z1, существует такое число z

такое, что z1z = z2. Это число называется частным комплексных чисел z1 и z2 и обозначается .Деление на 0 невозможно.

3. Комплекснаяплоскость. Рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости. Каждому комплексному числу z = a + ib поставим в соответствие точку M(a,b) координатной плоскости, т.е. точку, абсцисса которой равна Re z = a, а ордината равна Im z = b. Обратно, каждой точке плоскости с координатами (a,b) поставим в соответствие комплексное число z = a + ib.Сама координатная плоскость называется при этом комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой.