Структура сходящихся последовательностей

Структура сходящихся последовательностей

Файл : ref.doc

PAGE 1 Удмуртский государственный университет

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

Определение: Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {xn-а} является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности {xn}.

В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.

Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа ( можно указать номер N такой, что при n(N все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству:

|xn-a|<(.

При этом число а называется пределом последовательности.

Некоторые свойства сходящихся последовательностей:

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности {xn}. Тогда, используя специальное представление для элементов xn сходящейся последовательности {xn}, получим xn=а+(n, xn=b+(n, где (n и (n – элементы бесконечно малых последовательностей {(n} и {(n}.

Вычитая данные соотношения, найдем (n-(n=b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {(n-(n} имеют одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой последовательности {(n} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е. b=a. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть {xn} - сходящаяся последовательность и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:

xn=а+(n,

где (n- элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность {(n} ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство |(n|(А. Поэтому | xn | ( |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {xn}. Теорема доказана.

Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей {xn-a} и {xn+1-a} являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(xn-a) – (xn+1-a)}={xn– xn+1} была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |xn– xn+1| = 2 для любого номера n.

ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {хn} и {yn}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}. Тогда:

xn=а+(n,yn=b+(n,

где {(n} и {(n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn + yn) - (а + b) =(n+(n.

Таким образом, последовательность {(хn + yn) - (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn + yn} сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {хn} и {yn}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}.Тогда:

xn=а+(n,yn=b+(n,

где {(n} и {(n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn - yn) - (а - b) =(n-(n.

Таким образом, последовательность {(хn - yn) - (а - b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn - yn} сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {хn} и {yn}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}, то xn=а+(n,yn=b+(n и xn(yn=a(b+a((n+b((n+(n((n. Следовательно,

xn(yn-а(b=a((n+b((n+(n((n.