Сумматоры

Файл : lecture.pdf (размер : 361,122 байт)

МОДУЛЬ 9. СУММАТОРЫ

Блок 9.1. Общие сведения Рис. 9.1

1

Основным действием над двоичными числами является сложение. Оно используется само по себе, в операциях вычитания, а также составляет основу умножения и деления чисел. Многоразрядные сумматоры организуются на одноразрядных, суммирующих одноименные разряды чисел. По принципу обработки разрядов чисел сумматоры делятся на последовательные и параллельные. В последовательных сумматорах сложение чисел осуществляется поразрядно, последовательно. В параллельных сумматорах все разряды обрабатываются одновременно, параллельно. Изучив материал этого модуля, студент сможет осуществлять операции сложения и вычитания двоичных

чисел, представленных в различных формах, а также производить выбор типа сумматора в соответствии с условиями разрабатываемой схемы.

Одноразрядные Многоразрядные

Параллельные

Последовательные

Сумматоры

Блок 9.2. Одноразрядный сумматор Сложение одноразрядных двоичных чисел производится по следующим правилам:

Результат сложения двух единиц равен 210 (102) — вдвое превышает вес единицы в данном разряде, т. е. равен весу единицы в следующем разряде. Поэтому указанный результат переносится в виде 1 в следующий разряд, а в данном разряде записывается 0. В таблице истинности (табл. 9.1) приведены все случаи сложения одноразрядных двоичных чисел A и B. Она позволяет установить следующие логические выражения, связывающие выходы S (цифра в данном разряде) и Р (единица переноса в следующий разряд) с входами

А и В: BABABAS ⊕=+= (9.1)

Р=АВ (9.2) Первое из них – выражение

неравнозначности (функция"Исключающее

ИЛИ"),обозначенная значком ⊕, второе– конъюнкция одноразрядных чисел А и В. По ним может быть синтезирован полусумматор–устройство, реализующее сложение двух одноразрядных чисел.

В соответствии с выражениями (9.1), (9.2) схема полусумматора содержит шесть элементов. С целью ее

минимизации прибавим к функции S слагаемые А A и В B , каждое из которых равно нулю. При этом S=A B + A B=A B + A B + A A + B B = A (A+B)+ B (А+В) =

(А+В)( A + B ). По теореме де Моргана A + B = AB . Но АВ=Р, поэтому S=(A+B)

P . Выражения S=(A+B) P и Р=АВ реализует схема (рис.9.2,а.) , Она содержит на два элемента меньше, чем составленная непо- средственно по выражениям (9.1), (9.2). Условное изображение полусумматора приведено на рис. 9.2, б. Полусумматор не имеет входа, на который мог бы передаваться перенос с предыдущего разряда, поэтому он может использоваться

только для суммирования младших разрядов чисел.

Блок 9.3. Многоразрядный сумматор При сложении двух многоразрядных чисел следует считаться с тем, что каждый разряд может получать единицу переноса из предыдущего разряда, а также передавать единицу переноса в следующий. С учетом этого составлена таблица истинности полного сумматора

одноименных разрядов двух чисел (табл. 9.2), где Аi и Вi — цифры в одноименных разрядах чисел А и В; Pi-1 – перенос в разряд i из разряда i–1 ; Si – результат сложения слагаемых, Pi – перенос из i-го разряда в следующий. Из этой таблицы следуют логические выражения, связывающие выходы Si и Pi с входами Аi , Вi , Pi :

Si =АiВiPi-1+ iA B Pi–1+Аi 1−ii PB + iA ВiPi–1=Pi–1(АiВi+ iA iB )+ (Аi iB + iA iB ). Выражение в первых скобках– уравнение функции “Равнозначность”, логически противоположная функции “Неравнозначность”

(“Исключающее ИЛИ” – ) во вторых скобках. С учетом этого ii BA ⊕ Si = Pi–1 ( ii BA ⊕ )+ 1−iP ( ). (9.3) ii BA ⊕ Считая Pi-1 одной переменной (Pi-1=x1), а ( ) – второй, можно записать по аналогии с выражением x1x 2 + x1x2 =x1 ⊕ x2 ii BA ⊕ Si = ( ) Pi–1 (9.4) Из табл. 9.2 имеем ii BA ⊕ ⊕ Pi =Аi Вi Pi–1 + Аi iB Pi–1 + iA Вi Pi–1 + Аi Вi 1−iP = Аi Вi (Pi–1+ 1−iP ) + Pi–1 (Аi iB + iA Вi) = Аi Вi + Pi–1 ( ). (9.5) ii BA ⊕

Нетрудно заметить, что полный одноразрядный сумматор можно составить из двух полусумматоров. Действительно, как следует из выражения (9.4), на выходе полусумматора формируется функция “Исключающее ИЛИ” входных переменных. Поэтому функцию S, можно получить на выходе второго полусумматора (рис. 9.3), на один вход которого подается сигнал с первого полусумматора, а