Получение уравнения переходного процесса по передаточной функции

Файл : rom-0118.doc

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ 5.

ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА

ПО ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ.

ЦЕЛЬ. Научиться определять уравнение переходного процесса по изображению регулируемого параметра по Лапласу.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.

Построение переходного процесса является завершающим этапом исследования автоматической системы. По полученному графику переходного процесса при единичном воздействии можно наглядно определить основные показатели качества регулирования - время регулирования, перерегулирование, установившуюся ошибку.

Пусть нам известны:

Wy(p) - передаточная функция системы по управлению;

Wf(p) - передаточная функция системы по возмущению;

U(p) - управляющий сигнал;

f(p) - возмущающий сигнал.

Тогда изображение по Лапласу регулируемого параметра будет:

x(p)=Wy(p)*U(p) + Wf(p)*f(p).

Вначале рассмотрим случай, когда на систему действует управляющий сигнал U(p), а возмущающее воздействие f(p)=0:

x(p)=Wy(p)*U(p)=.

Таким образом для получения изображения по Лапласу регулируемой координаты необходимо передаточную функцию (ПФ) умножить на изображение по Лапласу входного воздействия.

Согласно таблице 1 задания 4 для входного воздействия в виде одиночного импульса U(t)=1’(t) изображение U(p)=1, для входного воздействия в виде единичного скачка U(t)=1(t) изображение U(p)= EQ \f(1;p) .

Рассмотрим несколько примеров получения уравнения переходного процесса по известной передаточной функции.

ПРИМЕР 1. Входное воздействие - единичный импульс U(t)=1’(t).

Передаточная функция:

W(p)=.

Определить уравнение весовой функции.

РЕШЕНИЕ.

Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра x(p), учитывая, что U(p)=1.

x(p)=W(p)*U(p)= EMBED Equation.2 .

Определяем корни характеристического уравнения.

p=

Преобразуем выражение x(p) согласно формуле №8 табл.1 (задания 4).

x(p)=.

Определяем уравнение весовой функции по формуле №8.

x(t)=4*e-2t*sin(6t).

ПРИМЕР 2. Дана следующая ПФ:

x(p)=

Определить уравнение весовой функции.

РЕШЕНИЕ.

Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра.

x(p)=

Корни характеристического уравнения.

p1,2= -2(j3.

Преобразуем выражение x(p) согласно формулам №8 и №9.

x(p)=

Определяем уравнение весовой функции по формулам №8 и №9.

x(p)=3*e-2t*sin(3t) + e-2t*cos(3t).

ПРИМЕР 3. Определить уравнение переходной функции по сле-

дующей ПФ:

W(p)=.

РЕШЕНИЕ.

Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра, учитывая, что U(p)= EQ \f(1;p) .

x(p)=* EQ \f(1;p) .

Корни характеристического уравнения.

p1=0, p2= -0.2.

Преобразуем изображение x(p) согласно формуле №20.

x(p)=.

Определяем уравнение весовой функции по формуле №20.

x(p)=30*(1- e-0.2t).

Таким образом для построения любого переходного процесса (весовой или переходной функций) необходимо прежде всего определить корни изображенного по Лапласу регулируемого параметра. Это сделать сложно, если знаменатель является полиномом выше третьего порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ МЕТОДОМ ПРИБЛИЖЕНИЯ.

Рассмотрим этот метод на конкретном примере.

ПРИМЕР 4. Определить корни в следующем характеристическом уравнении:

L(p)=p4+7.04p3+6.842p2+3.7104p+0.5904=0

РЕШЕНИЕ.

В первом приближении один из корней можно определить по двум последним членам этого уравнения.

3.7104p+0.5904=0 p1= - EQ \f(0.5904;3.7104) = -0.1591.

Если бы этот корень был бы вычислен точно, то данное уравнение разделилось бы на (p+0.1591) без остатка. В действительности получаем:

​_p4+7.04p3+6.842p2+3.7104p+0.5904 | p+0.1591_________.

p4+0.1591p3 p3+6.8809p2+5.748p

_6.8809p3+6.842p2

6.8809p3+1.094p2

_5.748p2+3.7104p

5.748p2+0.9145p

2.7959p+0.5904