Геодезические опорные сети. Упрощенное уравнивание

Невязки вычисляются по формуле:

(x=((x-(xк-xн); (y=((y-(yк-yн)

сумма поправок приращений должна равнятся нулю.

(xBC+(xCD+(XDE+(x=0

(yBC+(yCD+(yDE+(=0

Упрощенное уравнивание центральной системы.

В центральной системе возникает условное уравнение фигур, горизонта и полюса. Математически эти условия выражаются уравнениями поправок. Число условных уравнений фигур равно числу треугольников:

(x1)+(y1)+f1=0

(x2)+(y2)+f2=0

(x3)+(y3)+f3=0

(x4)+(y4)+f4=0

(x5)+(y5)+f5=0

Одно условное уравнение горизонта имеет вид:

((1)+((2)+((3)+((4)+((5)=f(=0

Условное уравнение полюса согласно формуле имеет вид:

(1(x1)+(2(x2)+(3(x3)+(4(x4)+(5(x5)- (1(y1)-(2(y2)-(3(y3)-(4(y4)-(5(y5)+W=0

Таким образом в этой центральной системе возникает семь условных уравнений. При этом распределение невязок и отыскание поправок по способу наименьших квадратов все уравнения надо решать совместно – это требует больших вычислений, поэтому в сетях сгущения уравновешивание выполняется упрощенным способом. Упрощение состоит в том, что система всех уравнений разделяется на однотипные группы. Для наиболее простого способа уравновешивания к первой группе относят условные уравнения фигур и решают их по способу наименьших квадратов. В этой группе уравнений каждоя неизвестная искомая поправка в уравнения входит один раз, т.е. каждое уравнение имеет три искомых неизвестных, не входящих в другие уравнения. Следовательно, каждое уравнение можна решать отдельно по способу наименьших квадратов. Решение такого уравнения с коэффициентами при неизвестных, равными единици, было описано.

Согласно формуле искомые поправки равны между собой и равны f/n, где f- невязки, а n- число углов.

Поэтому в условном уравнении фигуры треугольника n=3 поправки в углы треугольников выражаются формулами:

(x1)’=(y1)’=((1)’=-f1 /3

(x2)’=(y2)’=((2)’=-f2 /3

(x3)’=(y3)’=((3)’=-f3 /3

(x4)’=(y4)’=((4)’=-f4 /3

(x5)’=(y5)’=((5)’=-f5 /3

Решение первой группы уравнений дает первичные поправки, обозначенные одним штрихом. Затем приступают к решению второй группы условных уравнений, т.е. уравнение горизонта. При упрощенном уравновешивании получают вторые поправки к углам.

Условное уравнение примет вид:

((1)”+ ((2)”+ ((3)”+ ((4)”+((5)”+f(=0

Здесь невязка вычисляется по первично исправленным углам, т.е.

f(=[(1+((1)’]+ [(2+((2)’]+ [(3+((3)’]+ [(4+((4)’]+ [(5+((5)’]-360(

Условное уравнение горизонта имеет коэффициенты при неизвестном, равные единице, поэтому решение уравнения по способу наименьших квадратов выполняются так же, как и условие фигур, невязка распределяется поровну на все углы и поправка равна -f( /n, следовательно, вторичные поправки к углу ( будут:

((1)”= ((2)”= ((3)”= ((4)”= ((5)”-f(” /n

Чтобы не нарушать условие фигур, выполненные введением первых поправок, надо и в связующие углы x, y каждого треугольника ввести вторичные поправки, которые должны быть равны половине второй поправки к углу ( с обратным знаком:

(x1)”=(y1)”=-((1)”/2

(x2)”=(y2)”=-((2)”/2

Результаты этих поправок записаны в таблице. После решения условных уравнений фигур и горизонта приступают к решению полюсного условного уравнения, что дает третьи поправки к углам, но при условии, чтобы условия фигур и горизонта не были нарушены. Условное уравнение полюса примет вид:

(1(x1)”’+(2(x2)”’+(3(x3)”’+(4(x4)”’+(5(x5)”’-(1(x1)”’- (1(x1)”’-(1(x1)”’-(1(x1)”’ --(1(x1)”’+W=0

здесь (1, (2, …(5 – перемена логарифмов синусов углов x, входящие в числитель свободного члена W, а (1, (2…(5 – перемены логарифмов синусов углов y, входящие в знаменатель свободного члена. Невязка, т.е. свободный член уравнения, выражается формулой:

Здесь связующие углы x, y каждого треугольника представляют углы, исправленные предыдущими двумя поправками. Чтобы решением полюсного уравнения не нарушить условие фигур и горизонта, надо ввести дополнительное условие, согласно которому в каждом треугольнике связующие углы должны иметь равные поправки, но с разными знаками, т.е. (xi)”’=-(yi)”’. Тогда полюсное уравнения примет вид.

a1(x1)”’+ a2(x2)”’+ a3(x3)”’+ a4(x4)”’+a5(x5)”’+W=0

a1=((1+(1), …

для решения этого уравнения по способу наименьших квадратов надо добавить условие: (x1)”’2+(x2)”’2+(x3)”’2+(x4)”’2+(x5)”’2=min